数学の関数とグラフ

数学の「関数」を振り返る

Pythonの関数を学んだとき、y = f(x)という形で「入力から出力を計算する」ことを表せる、と説明しました。実はこのfの中身を、数学の言葉(数式)で具体的に表すこともできます。最も基本的な形が 一次関数 です。

これは、Pythonで書くとこうなります。

def f(x):
    return a * x + b

$a$と$b$はあらかじめ決まった数値(定数)で、それぞれ次のような意味を持ちます。

• $a$：傾き。$x$が1増えたときに、$y$がどれだけ変化するか
• $b$：切片。$x = 0$のときの$y$の値

例えば $y = 2x + 1$ なら、$x$が1増えるごとに$y$は2ずつ増え、$x=0$のとき$y=1$です。この「傾き」「切片」という言葉は、この後の単元(線形回帰)で何度も登場する重要な用語なので、ここでしっかり押さえておきましょう。

グラフで見る一次関数と、データとのつながり

一次関数 $y = ax + b$ をグラフに描くと、まっすぐな直線になります。$a$(傾き)が大きいほど線は急になり、$a$がマイナスなら右下がりになります。$b$(切片)を変えると、線が上下に平行移動します。

以前、データの可視化の単元で「勉強時間」と「テストの点数」の散布図に、$y = 7x + 40$という直線を当てはめて、勉強時間から点数を予測する演習をやりました。実はあの直線こそ、まさにこの一次関数だったのです。

つまり、「データの傾向を表す直線を見つける」ということは、「そのデータに最もよく当てはまる$a$(傾き)と$b$(切片)を見つける」ということと同じです。

この後の単元で学ぶ 線形回帰 は、まさにこの「データから最適な$a$と$b$を自動的に見つけ出す」手法です。人間が$a=7, b=40$と決め打ちするのではなく、コンピュータにデータを見せて、最も当てはまりの良い$a$と$b$を計算させます。次のレッスンでは、その前段階として、複数の数値をまとめて扱う「ベクトル」を学びます。